Advección: Tipos de enfoque

ENFOQUE EULERIANO (BALANCE DE MASA).

Especificación Euleriana del campo de flujo es una forma de observar el movimiento del fluido enfocándose en ubicaciones especificas en el espacio a través del cual fluye dicho fluido a medida que pasa el tiempo.

Algunos solutos de los que se estudiará su concentración son:

  • Trazadores
  • Contaminantes orgánicos
  • Agua con mayor salinidad

El flujo másico de contaminante Q_m medido en unidades de [M T^{-1}] es definido como:

(1)   \begin{equation*}Q_m = Q C,\end{equation*}

donde C es la concentración del soluto medido en unidades de [M L^{-3}] .

Además se cumple la ecuación:

(2)   \begin{equation*}q_m = qC,\end{equation*}

donde q_m es la velocidad del soluto medida en unidades de [M L^{-2} T^{-1}].

Si consideramos el clásico enfoque de balance de masa en un cubo, donde las entradas y las salidas equivalen a los flujos de soluto que ingresan y salen por las caras podemos escribir la siguiente ecuación:

(3)   \begin{equation*}-\left[ \frac{\partial}{\partial x} \left(q_x C \right) + \frac{\partial}{\partial y} \left(q_y C \right) + \frac{\partial}{\partial z} \left(q_z C \right) \right] \Delta x \Delta y \Delta z + Q_s C_s = \phi \frac{\partial C}{\partial t} \Delta x \Delta y \Delta z\end{equation*}

Dividiendo ambos miembros entre \phi \Delta x \Delta y \Delta z obtenemos la siguiente ecuación:

(4)   \begin{equation*}- \frac{\partial}{\partial x} \left(v_x \right) - \frac{\partial}{\partial y} \left(v_y \right) - \frac{\partial}{\partial z} \left(v_z \right) + \frac{q_s}{\phi} = \frac{\partial C}{\partial t},\end{equation*}

siendo Q_s C_s el flujo neto al cual la masa de soluto es removido o añadido del volumen elemental en concepto de fuente o sumidero.

* Notar que q_s = \frac{Q_s}{\Delta x \Delta y \Delta z}.

Expresando en forma vectorial e introduciendo el operador \nabla, podemos expresar la ecuación anterior en forma vectorial:

(5)   \begin{equation*}\nabla \cdot \left(vC\right) + \frac{q_s}{\phi} = \frac{\partial C}{\partial t}.\end{equation*}

* Notar que este es un caso especial en el que el medio poroso no se deforma. Es por esto que \phi puede salir de la derivada temporal.

En el caso de considerar la deformación del medio poroso se tendría que proponer una expresión para \phi(t).

ENFOQUE LAGRANGIANO (RASTREO DE PARTÍCULAS).

Especificación Lagrangiana del campo de flujo es una forma de observar el movimiento de un fluido donde el observador sigue una partícula individual a medida que se mueve a través del tiempo y del espacio.

Partimos del enfoque Euleriano en una dimensión (por simplicidad):

(6)   \begin{equation*}-\frac{\partial}{\partial x_i} \left( v_i C\right) + \frac{q_s}{\phi} C_s = \frac{\partial C}{\partial t}.\end{equation*}

Como ahora “C se mueve con el flujo” debemos expandirlo usando la regla de la cadena:

(7)   \begin{equation*}\frac{\partial}{\partial x_i} \left( v_i C\right) = C \frac{\partial v_i}{\partial x_i} + v_i \frac{\partial C}{\partial x_i}\end{equation*}

Además, en estado estacionario se cumple que:

(8)   \begin{equation*}\frac{\partial v_i}{\partial x_i} = \frac{q_s}{\phi}\end{equation*}

Reemplazando la Ec.(7)  y la Ec.(8) en la Ec.(6) obtenemos:

(9)   \begin{align*}-C \frac{q_s}{\phi} - v_i \frac{\partial C}{\partial x_i} + \frac{q_s}{\phi} C_s &= \frac{\partial C}{\partial t} \\\frac{\partial C}{\partial t} + V_i \frac{\partial C}{\partial x_i} &= \frac{q_s}{\phi} \left(C_s -C \right)\end{align*}

El lado izquierda de la ecuación anterior generalmente se expresa en forma de derivada sustancial:

(10)   \begin{equation*}\frac{DC}{Dt} = \frac{q_s}{\phi} \left( C_s - C\right).\end{equation*}

La derivada sustancial puede ser interpretada como el cambio de concentración identificada con una partícula o elemento de fluido que se está moviendo a lo largo de la trayectoria.

Para el enfoque Lagrangiano C = Cs, por lo tanto \frac{DC}{Dt} = 0. Porque C es identificado con un elemento o partícula en movimiento.

Además, para un transporte puramente advectivo se cumple que:

    \begin{align*}\mathrm{C_s \, que \, emerge \, de \, la \, fuente} &= \mathrm{C \, asociado \, con \, la \, fuente} \\\mathrm{C_s \, que \, entra \, a \, un \, sumidero} &= \mathrm{C \, inmediatamente \, fuera \, del \, sumidero}.\end{align*}

Es así que \textbf{$C$} asociado con una partícula de fluido no cambia con el tiempo a medida que la partícula atraviesa la trayectoria.

DIFERENCIA ENTRE EL ENFOQUE LAGRANGIANO Y EULERIANO.

El estudio se basa en el sistema de coordenadas usado en fluidomecánica. Hay dos formas de caracterizar matemáticamente un fluido. La primera es indicar la velocidad como función del tiempo para cada elemento individual de fluido. Imagínese dejar caer una gota de tinta en una corriente de agua y seguir su trayectoria, indicando la dirección y la velocidad a la que se mueve en cada momento. Esto corresponde a describir el flujo usando un enfoque Lagrangiano de coordenadas. La segunda forma es definir las coordenadas en un marco de laboratorio (por ejemplo las que están definidas en la pared solida de un tanque), y luego indicar la velocidad del elemento de fluido que esta fluyendo a través de un punto del sistema de ejes coordenados en un momento dado. A medida que la gota de tinta sigue su trayectoria, su movimiento estará descrito por los valores del campo de velocidad evaluado a sucesivos puntos diferentes, cada uno correspondiendo a la ubicación instantánea de la gota con respecto al tanque.

Para aplicaciones prácticas, el enfoque Euleriano es mas útil que el Lagrangiano pero su mayor inconveniente es que presenta efectos de dispersión numérica. En cambio, en el enfoque Lagrangiano la concentración no está asociada a puntos fijos en el espacio o volúmenes elementales, sino a elementos de fluido o partículas que se mueven con el flujo de velocidad prevaleciente.

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