Ecuación de la conservación de masa de un fluido en medios porosos

En este apartado se deduce la ecuación de flujo subterráneo de agua, combinando la ecuación de conservación de masa para medios porosos y relaciones constitutivas. La ecuación de conservación de masa para medios porosos en ausencia de términos de generación y/o consumo se presenta a continuación:

(1)   \begin{equation*}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} + \ushort{}\nabla \cdot(\phi\rho\ushort{v}) = 0,\end{equation*}

donde el primer término de la ecuación corresponde al de acumulación y el segundo término contempla los efectos de advección, siendo \ushort{v} la velocidad real del fluido a través del medio poroso.

Examinando la Ecuación (1) se cuenta con una ecuación y cuatro incógnitas –\rho y los tres componentes de la velocidad \ushort{v} (asumiendo que la porosidad es conocida)-. Para que el sistema pueda resolverse es necesario añadir más información. Una información es la relación constitutiva de la ley de Darcy. Como se dedujo anteriormente, la ley de Darcy establece que:

(2)   \begin{equation*}\ushort{q} = -\ushortd{K} \cdot \nabla h,\end{equation*}

Para incluir la velocidad de Darcy en la ecuación de conservación de masa para medios porosos es necesario expresarla en función a la velocidad real del fluido, esto es:

(3)   \begin{equation*}\ushort{q} = \phi\ushort{v}.\end{equation*}

Combinando las Ecuaciones (1), (2) y (3) se obtiene:

(4)   \begin{equation*}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} - \nabla\cdot\rho(\ushortd{K}\cdot\nabla h) = 0.\end{equation*}

Esto permite reemplazar tres incógnitas (los componentes de \ushort{v}) con una nueva, la carga hidráulica. Ahora se cuenta con una ecuación y dos incógnitas (o cuatro ecuaciones y cinco incógnitas). Para avanzar en la deducción, se aplica la regla de la cadena para expandir el primer término de la izquierda de la Ecuación (4):

(5)   \begin{equation*}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} = \phi \frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \frac{\partial \phi}{\partial t}.\end{equation*}

Ahora se introducen dos relaciones constitutivas adicionales. Es sabido a través de experimentos conducidos en varios tipos de suelos que las partículas sólidas se consolidan o se vuelven más compactas cuando la presión del agua decrece. La relación es:

(6)   \begin{equation*}\frac{\partial\phi}{\partial t} = \frac{d \phi}{dp} \frac{\partial p}{\partial t} = C_v \frac{\partial p}{\partial t},\end{equation*}

donde C_v es el \emph{coeficiente de consolidaci󮽀, ampliamente utilizado en la mecánica de sólidos. La segunda relación constitutiva relaciona la presión del fluido con la \emph{compresibilidad del agua}, esto es:

(7)   \begin{equation*}\beta \equiv \frac{1}{\rho} \frac{d\rho}{dp},\end{equation*}

donde \beta es la compresibilidad del agua. Además:

(8)   \begin{equation*}\frac{\partial\rho}{\partial t} = \frac{d\rho}{dp} \frac{\partial p}{\partial t},\end{equation*}

debido a que \rho es función exclusiva de la presión (aparece en forma de derivada total), en cambio la presión depende tanto del tiempo como de las coordenadas espaciales (aparece en forma de derivada parcial). Reemplazando las Ecuaciones (8) y (6) en la Ecuación (5) se obtiene:

(9)   \begin{equation*}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} = \phi \frac{d \rho}{dp} \frac{\partial p}{\partial t} + \rho C_v \frac{\partial p}{\partial t}.\end{equation*}

Multiplicando y dividiendo por \rho el primer término de la derecha de la Ecuación (9) se puede escribir:

    $$\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} = \phi\rho\frac{1}{\rho}\frac{d\rho}{dp}\frac{\partial p}{\partial t} + \rho C_v \frac{\partial \rho}{\partial t}.$$

Ordenando y aplicando la relación constitutiva de la compresibilidad del agua se obtiene:

(10)   \begin{equation*}\frac{\partial(\phi\rho)}{\partial t} = \rho (\phi\beta + C_v) \frac{\partial p}{\partial t}.\end{equation*}

La carga hidráulica puede expresarse en términos de carga de elevación y carga de presión mediante la siguiente expresión:

(11)   \begin{equation*}h = \int_{z_0}^{z} dz + \int_{p^{a}}^{p} \frac{d\pi}{g\rho (\pi)},\end{equation*}

donde \pi es simplemente una variable auxiliar para representar la presión.

La regla de Leibniz integral proporciona una fórmula para derivar una integral definida cuyos límites son funciones de la variable derivable,

    $$\frac{\partial}{\partial x} \int_{a(x)}^{b(x)} f(t,x)dt = \int_{a(x)}^{b(x)} \frac{\partial}{\partial x} f(t,x)dt + f(b(x),x)b'(x) - f(a(x),x)a'(x),$$

donde a'(x) y b'(x) denotan la derivada de a(x) y b(x) con respecto a x.

Aplicando la regla de Leibniz integral se puede obtener una ecuación que relacione la derivada de la carga hidráulica con respecto al tiempo y la derivada de la presión con respecto al tiempo:

(12)   \begin{equation*}\frac{\partial h}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \int_{z_0}^z dz + \frac{\partial}{\partial t} \int_{p_{atm}}^p \frac{d\pi}{g\rho (\pi)},\end{equation*}

de este modo:

(13)   \begin{equation*}\frac{\partial}{\partial t} \int_{z_0}^z dz = 0 \: ,\end{equation*}

y

(14)   \begin{equation*}\frac{\partial}{\partial t} \int_{p_{atm}}^p \frac{d\pi}{g\rho (\pi)} = \frac{1}{g\rho (p)} \frac{\partial p}{\partial t}.\end{equation*}

Reemplazando la Ecuación (13) y (14) en la Ecuación (12) se obtiene:

(15)   \begin{equation*}\frac{\partial h}{\partial t} = \frac{1}{g\rho (p)} \frac{\partial p}{\partial t}.\end{equation*}

Ordenando la Ecuación (15) se puede escribir:

(16)   \begin{equation*}\frac{\partial p}{\partial t} = g \rho (p) \frac{\partial h}{\partial t}.\end{equation*}

Reemplazando la Ecuación (16) en la Ecuación (10) se obtiene:

(17)   \begin{equation*}\frac{\partial (\phi\rho)}{\partial t} = \rho ^2 g(\phi\beta+C_v) \frac{\partial h}{\partial t}.\end{equation*}

Finalmente, reemplazando la Ecuación (17) en la Ecuación (4) se puede escribir:

(18)   \begin{equation*}\rho ^2 g (\phi\beta + C_v) \frac{\partial h}{\partial t} - \nabla\cdot\rho (\ushortd{K}\cdot\nabla h) = 0.\end{equation*}

o bien:

(19)   \begin{equation*}S_s \frac{\partial h}{\partial t} - \nabla\cdot (\ushortd{K}\cdot\nabla h) = 0. \end{equation*}

donde S_s \equiv g\rho (\phi\beta + C_v) es el \emph{almacenaje espec�co}, definido como el volumen de agua liberada de un volumen unitario de medio poroso debido a un decremento unitario en la carga hidráulica. Para derivar la Ecuación (19) a partir de la Ecuación (18) se ha asumido que el gradiente espacial de la densidad es despreciable comparado con otros términos en la ecuación y por lo tanto fue eliminado.

Debido a que el almacenaje específico es una función de \rho, y por ende de h, la Ecuación (19) es no lineal, esto es, implica el producto de un coeficiente que depende de h y la derivada de h en el término \partial h / \partial t. Sin embargo, debido a que esta es una no linealidad débil (S_s no cambia mucho cuando \rho cambia) es en general despreciada, S_s es normalmente una constante o una función sólo del espacio. El gradiente espacial de \rho (\ushort{u}\cdot\nabla \rho) es usualmente mucho menor que la divergencia del flujo (\rho\nabla\cdot\ushort{u}), lo cual justifica el hecho de despreciar este término.

El precedente desarrollo pudo realizarse usando la presión del fluido en vez de la carga hidráulica como variable primaria. Mientras que esa formulación tiende a ser más general, la formulación en base a la carga fue usada ya que la Ecuación (19) es la forma de la ecuación de flujo de agua generalmente aceptada. Además, es usualmente más fácil especificar condiciones de frontera en términos de carga que en términos de presión.

Ahora bien, la ecuación de flujo de agua subterránea combina la Ley de Darcy y la ley de conservación de masa, donde:

(20)   \begin{equation*}\frac{\partial}{\partial x} \left( K_x \frac{\partial h}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y} \left( K_y \frac{\partial h}{\partial y}\right) +\frac{\partial}{\partial z} \left( K_z \frac{\partial h}{\partial z}\right) + q_s = S_s \frac{\partial h}{\partial t}.\end{equation*}

Esta ecuación se resuelve por h, y permite conocer la carga hidráulica en un punto del espacio en un tiempo determinado. Todos los términos son ya han sido introducidos excepto q_s que representa la adición o sustracción de agua (término fuente) y S_s denominado almacenaje específico que contempla los efectos de compresibilidad, tanto del agua como del medio poroso.

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